Indices IV. A minőségi változás idő és tér függése

A sorozat előző cikkében meghatároztuk az összefüggést a minőségi változás és a stabilitási tartalék közt. Vizsgáljuk meg, hogy mi ezek, valamint az idő és tér kapcsolata

Egy három ábrából álló csoporton mutatjuk ezt be.

Az 1. ábrán egy sziget látható, melynek jobb oldalán van egy domb. A 2. ábrán ugyanez a sziget, de itt csak az 1. ábrán dombnak megadott emelkedik ki a vízből. A 3. ábrán pedig az egész sziget víz alatt van.

  1. Időbeli viselkedés

Írja le a sziget helyzetének az időbeli változását a következő egyenlet:
dh/dt = c(t),
ahol h – a vízszinthez képesti magasság; t – az idő; c(t) – valamilyen időtől függő változó.
A stabilitási tartalék maga a „h” értéke. Akkor van tehát minőségi változás, ha ez előjelet vált. (Esetünkben „megszületik” a sziget, vagy „megszűnik”, vagyis a víz szintje fölé emelkedik, vagy az alá sűllyed.)

1.1. Legyen

c = const.
Ekkor
h = h0 + ct
ahol h0 – a sziget szintje a t = 0 időpontban.

1.1.1.Legyen

h0 < 0,azaz ekkor a 3. ábrának megfelelő a helyzet.

1.1.1.1.Legyen

c 0,
vagyis a sziget emelkedik.
Ennek eredményeként a kezdetben a víz alatt levő sziget először csak részben (2. ábra), majd egészen (1. ábra) kiemelkedik a vízből.
Minőségi változás következik tehát be.

1.1.2. Legyen

h0 > 0,
azaz kezdetben van sziget (1. ábra).

1.1.2.1.Legyen

c 0,
vagyis emelkedik.
Így a sziget egyre magasabb lesz, de más nem történik. Nincs tehát a mennyiségi változásnak minőség változási hatása.

1.2. Egy általánosabb eset

Legyen
c = c0 – c1t

Ekkor
h = h0 + c0t – 0.5c1t2

Itt csak azt az egyetlen esetet tárgyaljuk, aminél

h0 < 0, hm > 0,
ahol hm – „h” maximális értéke.

Ez más alakban

c0 > SQR(-2h0c1),

ahol az SQR – a négyzetgyökvonás.
A vizsgált esetben először még nem emelkedik ki a sziget a víz alól (3. ábra), majd egyre inkább igen (2. később az 1. ábra). Így bekövetkezett a minőségi változás.
Az előző esetektől eltérően, azonban ezzel nem fejeződik be a folyamat, hanem megfordul, és a sziget fokozatosan elsüllyed. Ami miatt bekövetkezik egy újabb minőségi változás.

Ez történik pl. a vulkánok által létrehozott, majd a vulkáni tevékenység megszüntével fokozatosan lepusztuló szigetekkel. (Erre példa a Hawai szigetcsoport, ahol egy ponton megindul a vulkáni tevékenység, fokozatosan felépül egy sziget, majd a Föld elfordulása miatt a vulkán „tovább megy”, és a szigetet az óceán fokozatosan elpusztítja.)

1.3. Egy még általánosabb eset

Most legyen

c = – ac0SIN(c0t + b),
ahol „a”, „b”, „c0” – pozitív állandók; SIN – pedig a színusz fügvény un. főértéke.

Ebben az esetben

h = aCOS(c0t + b),
h0 = aCOS(b)

Így a sziget kezdetben lehet víz alatt (3. ábra), ha

COS(b) 0.

Az idő előre haladtával

c0t + b

értéke nő, és amikor

c0t + b = 0.5(2k + 1)PI

lesz bekövetkezik az, hogy a COS – függvény előjelet vált. (Itt „k” – 0, 1, 2…; PI – pedig a közismert Ludolf-féle szám.)

Megfordul tehát a folyamat, és az eddig egyre jobban kiemelkedő sziget, elkezd sűllyedni ill. az eddig süllyedő sziget elkezd kiemelkedni. Tovább folytatódva, ismét megfordul az irány.

Így az állandók értékétől függően a következők történhetnek:

1.3.1. A sziget mindig a víz alatt marad, csak a felette levő víz magassága változik. Nincs tehát minőségi változás.

1.3.2. A sziget mindig a víz felett van, csak a magassága változik. Itt sincs tehát minőségi változás.

1.3.3. Végül van, amikor a sziget hol kiemelkedik, hol elsüllyed, és ez állandóan ismétlődik. Ennél az esetnél tehát állandóan ismétlődve lesz hol pozítív, hol pedig negatív irányú minőségi változás.

Azt írtam, hogy ez még az előzőnél is általánosabb eset. Ez nemcsak az egyenlet alakjára vonatkozik, hanem az előfordulás gyakoriságára is. Ez történik ugyanis sok szigetnél az apály és dagály ciklikus változásának hatására.

Az apály-dagály jelenségnél nem maga a sziget emelkedett vagy süllyedt, hanem a körülvevő víz. Mivel „h” értékét a vízszinthez viszonyított magasságnak adtuk meg, ezért az mindegy volt, hogy a sziget mozog fel-le, vagy a vízszint.

  1. A térbeli viselkedés

Amennyiben a legutóbb vizsgált esetnél külön-külön vizsgáljuk a sziget egészét, valamint a szigetnek a dombi részét, akkor eltérések lehetnek.

Lehet, hogy a dombnál nem következik be minőségi változás, mert mindig kiemelkedik a vízből, míg a sziget többi része már víz alá kerül, vagy csak a domb emelkedik ki a vízből, a sziget már részei meg nem.

Összegezve a két változó hatását: Vannak olyan rendszerek, amiknek a tulajdonságai időben és/vagy térben változnak, és vannak, amiké nem. (A rendszer fogalmába beleértettük a környezetét is!) A tulajdonság változása megváltoztatja a stabilitási tartalék értékét, ami előjel változása esetén minőségi változást okoz.

Simonyi Endre