Koordináta rendszerek egyenértékűsége

A szakirodalom szerint a derékszögű és polár koordináta rendszerek egyenértékűek. Ez azt jelenti, hogy adatvesztés nélkül át lehet térni az egyikről a másikra. Az áttérés néhány egyszerű képlet alkalmazásával történik.

Ezek a képletek síkbeli esetben

– a derékszögüről polárra esetén

r = SQR(x2 + y2) és ф = ATN(y/x)

ahol az SQR – a pozítiv előjelű négyzetgyök és az ATN – az arkusz tangens függvény főértékének a jele,

– polárról derékszögűre pedig

x = r*COS(ф) és y = r*SIN(ф),

ahol a * – a szorzás, SIN – a szinusz és COS – a koszínusz függvény főértékének a jele.

Vizsgáljuk meg, hogy ez a sík minden pontjára alkalmazható-e?

Bármely x,y párral megadott ponthoz egy és csak egy pont tartozik, melyből az első képletpárral számolva egy és csak egy r,ф páros tartozik. Ez alól nem jelent kivételt az sem, ha x vagy y zérus értékű. Amennyiben azonban mindkettő az, úgy 0/0 alakot kapunk a ф értékének meghatározására, azaz a derékszögű koordináta rendszer origójának esetében a polár koordináta rendszer meghatározhatatlan szögértéke adódik az r = 0 mellett.

A fordított esetben viszont minden r = 0 értékhez x = y = 0 tartozik függetlenül ф értékétől, mivel sem a SIN, sem a COS nem vehet fel végtelen értéket, ami miatt mindkét szorzat érték zérus lesz. E miatt tehát bármilyen ф értékhez ugyanaz a pont fog tartozni.

Másként.

A derékszögű koordináta rendszer valamelyik változóját zérus értékűnek véve eggyel alacsonyabb dimenziójú geometriai alakzatot kapunk. Ez pl. síkbeli esetben egy egyenes, az egyik koordináta tengely. A két változó azonos viselkedésű.

A polár koordináta rendszer esetén a

ф = 0 értékhez az x = r és y = 0 eggyel alacsonyabb dimenziójú alakzat (síkbeli esetben félegyenes, az x-tengely pozitív ága),

r = 0 értékhez viszont minden esetben az origó tartozik. A két változó tehát nem azonos viselkedésű.

Ez azonban nem jár adatvesztéssel, mert az origón kívül egyetlen pontban sem teljesül az r = 0 feltétel, és megfordítva, ha r = 0, akkor az az origó.

Amennyiben viszont a polár koordináta rendszerből indulunk ki, és az r = 0 és különböző ф értékeket veszünk fel, akkor ezekhez mindhez az x = y = 0 érték, vagyis az origó fog tartozni. Ebben az esetben tehát végtelenül sok, a ф értékében különböző adathoz ugyanaz az x,y értékpár tartozik. Ez így már adat vesztés.

Simonyi Endre