Kétdimenziós Lottka-Volterra

Itt
dx1/dt = r1x1 + a11x12 + a12x1x2 = P (1a)
dx2/dt = r2x2 + a21x1x2+ a22x22 = Q (1b)

ahol r – belső növekedési aránya az élőlénynek (élőlény csoportnak) a vizsgáltakon belűl (intrinsic rate), a – közrehatási kifejezés (interaction term).

A különleges pont a
P = Q = 0

P – nullvonal (az általam elsőnek megadott irányjelző elnevezést nem vette át a szakirodalom)x1 = 0
azaz a függőleges tengely, valamint az
x2 = (-r1 – a11x1)/ a12 (2)
Ennek a képe egy egyenes a fázissíkon. A függőleges tengely metszési pontját a
-r1 / a12 (2a)
az egyenes iránytangensét
– a11/ a12 (2b)
értéke adja meg.

A lehetséges eseteket mutatja az 1a-1d. ábra.


1a.


1b.


1c.


1d.

Q – nullvonal
x2 = 0
azaz a vízszintes tengely, valamint az
x1 = (-r2 – a22x2)/ a21 (3)
Ez is egyenes. Itt a vízszintes tengely metszési pontját adja meg a
-r2 / a21 (3a)
az egyenes iránytangensét pedig az
– a22/ a21 (3b)
értéke.

Az ehhez tartozó lehetséges változatok láthatók a 2a-2d. ábrákon.


2a.


2b.


2c.


2d.

P, Q – nullvonalak és az iránymutató vektorok (a szintén általam bevezetett elnevezést szintén nem vette át a szakirodalom, de nem használ helyette mást, bár a fogalmat elnevezés nélkül használja).

Az esetek száma nem tizenhat, ami a P-, Q-nullvonalak párosításából adódhatna, hanem több. Ennek az oka az, hogy egy páron belűl is lehet olyan eset, amiben a nullvonalak metszik egymást, és olyan, amiben nem, továbbá lehet, hogy a metszésnél a “P” jön felűlről, ill. a “Q”.

Az ez alapján várt eset számnál azonban kevesebb van, mert az

r1 = a11 > 0

és az
r2 = a22 > 0
esetekben nincs ilyen kettőződés.

Így összesen harmincnégy lehetséges eset van. Ezeket mutatja az 1a2a- 1d2d. ábra.


1a2a.


1a2a2.


1a2b.


1a2b2.


1a2c.


1a2c2.


1a2c2b.


1a2c3.


1a2d.


1b2a.


1b2a2.


1a2a.


1b2b2.


1b2b2B.


1b2bB.


1b2c.


1b2c2.


1b2c2B.


1b2cB.


1b2d.


1c2a.


1c2a2.


1c2a2B.


1c2aB.


1c2b.


1c2b2.


1c2b2B.


1c2c.


1c2c2.


1c2d.


1d2a.


1d2b.


1d2c.


1d2d.

A 34 esetet különböző szempontok szerint csoportosíthatjuk

A különleges pontok száma alapján összesen van 81 különleges pont.

Típus szerint ebből 28 stabil és 53 instabil különleges pont.

Különleges pont létezése szempontjából mindegyik esetben van különleges pont.

Az egy esetben levő különleges pontok száma szerint legalább egy, legfeljebb négy különleges pont van.

A különleges pont stabilitása szempontjából 28 esetben van, 6 esetben pedig nincs (1c2aB, 1c2B, 1d2a, 1d2b, 1d2c, 1d2d) stabil különleges pont. Ahol van, ott mindig egy van. Ezekből 8 globálisan stabil. A 28 esetből 20 a kihalás. A fennmaradó 8 eset mindegyike az 1c csoportba tartozik, és mindössze 1 (1c2a2 eset), aminél mindkettő megmarad, az összes többinél, amiből egy globálisan stabil (1c2d) csak az egyik (1c2a2B, 1c2b2, 1c2b2B, 1c2c, 1c2c2).

Az a különleges eset, amelynél mindkettő megmarad az, aminél
a11 = -1
r1 = 1
r2 = a22 = -1

Szakirodalom: EVOLUTION, CONSTRAINT, COOPERATION, AND COMMUNITY STRUCTURE IN SIMPLE MODELS, Lee WordenA DISSERTATION PRESENTED TO THE FACULTY OF PRINCETON UNIVERSITY, IN CANDIDACY FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY RECOMMENDED FOR ACCEPTANCE BY THE PROGRAM IN APPLIED AND COMPUTATIONAL MATHEMATICS, November 2003

Simonyi Endre