Fázissík módszerek általánosítása

Amennyiben a különleges alakzat pont, igazak a következők…

1. Legyen
w – valamilyen hely koordinátaként megjelenített folyamat változónak megfelelő vektor, u – ennek az időbeli változási vektora, w0 és u0 – ezeknek a különleges pontbeli értékei.

Legyen továbbá
r = w – w0
v = 
(mivel a különleges pontban a változás zérus, ezért u0 = 0), ahol r – a különleges pontból a vizsgált pontba mutató vektor, v – ennek a változási sebesség vektora.

A lineáris transzformációval létrehozott r – v derékszögű koordináta rendszer akkor is sík, ha a „w” változó esetleg sok más változó függvénye, amik csak egy sokdimenziós fázistérben lennének megjeleníthetők.

A transzformáció által a folyamatok mindig egy fázissíkban lesznek vizsgálhatók.

2. Bontsuk fel az „r” változót a következő komponensekre:
r = rd + rs + ri
ahol d – távolító, tehát destabilizáló, s – közelítő, tehát stabilizáló, i – sem nem távolító, sem nem közelítő, tehát közömbös (inert).

Ugyanez a „v” vektornál
v = vd + vs
mivel a harmadik komponens a definíció miatt egy zérus vektor.

A két vektor skalár szorzatán alapuló asszimptotikus stabilítás vizsgálat így minden esetben ezen sikon történő vizsgálatra egyszerűsödik.