Egydimenziós Lottka-Volterra

Itt

dx/dt =rx + ax2 (1)

ahol r – belső növekedési aránya az élőlénynek (élőlény csoportnak) a vizsgáltakon belűl (intrinsic rate), a – közrehatási kifejezés (interaction term).

Ez alapján különleges pont az

xs = 0

és az

xs = – r/ a

ahol az s index a különleges pontra utal.

Mivel “x” az élőlény népessége, ami nem lehet negatív, ezért a második gyök csak akkor reális, ha

SIG(r) = -SIG(a) (2)

Az un. fázissebesség

v = xdx/dt = rx2 + ax3

Elsőrendű rendszernél a különleges pont aszimptotikus stabilitásának szükséges és elégséges feltétele, hogy legyen a fázisegyenesnek egy olyan nem végtelenül kicsi szakasza, ami magába foglalja a különleges pontot, és amely szakasz mindenegyes olyan pontja, melynél az “x” értéke nagyobb, mint a különleges pontban, “v” értéke negatív, míg a különleges pontnál kisebb “x” értékeknél “v” pozitív, valamint a szakaszon belül nincs olyan pont, ahonnan a mozgó pont átugorhat a különleges pontba. Ez utóbbi feltétel kizárja azt, hogy létezzen a szakaszon belül olyan pont, amelyben a fázissebesség tart a végtelenhez, másként mondva a fázissebesség mindenüt korlátos.

Ez képlettel megadva, ha

x > xs

akkor

v < 0

és, ha

x < xs

akkor

v > 0

valamint

létezik egy olyan vl

véges nagyságú szám, amelyre

ABS(v) < ABS(vl)

A fázissebesség, vagyis az élőlény szaporodásának, fogyásának a sebessége, mindig korlátos. Így ez a feltétel a valóságban teljesül. Nézzük meg, igaz-e ez ennél a modelnél is!

Esetek:

1. Egy különleges pont van.

Ez alapján , ha nem teljesül (2), azaz

SIG(r) = SIG(a)

akkor az origó, azaz a kihalás, stabil, amennyiben

SIG(v) = -1 (3)

Mivel az

x > 0

feltétel mindig fennáll, ezért (3) más alakja

SIG(r + ax) = -1 (3a)

Amennyiben

SIG(r) = SIG(a) = 1

vagyis mindkettő pozitív, akkor ez sehol sem teljesül, az origó instabil, a rendszer tart a végtelenhez.

Amennyiben viszont

SIG(r) = SIG(a) = -1

vagyis mindkettő negatív, úgy ez mindenhol teljesül, tehát az origó globálisan is stabil különleges pont.

Megállapítható tehát, ha a két állandó előjele azonos, úgy egyetlen különleges pont van, ami az origónak megfelelő kihalás. A kihalás bekövetkezik, ha mindkét állandó negatív, ellenben a népesség száma a végtelenhez tart, ha mindkettő pozitív.

2. Két különleges pont van

Ekkor, ahogy erről már volt szó, a két állandó előjele különböző.

Amennyiben

r > 0

a < 0

akkor a másik különleges pontnál

az

x < xs

azaz

x < – r/ a

esetben viszont

v > 0

és az

x > – r/ a

esetben pedig

v < 0

Így ez a különleges pont stabil, és globálisan is az.

A fordított esetben viszont az

x < xs

esetben

v < 0

és a nagyobb értéknél pozitív, ezért ennél a második instabil. Az origó stabil, de nem globálisan, mert a másodiknál nagyobb “x” értéknél a népesség tart a végtelenhez.

Megállapítható tehát, hogy két különleges pont esetén az origó instabil, azaz a rendszer nem tart a kihalás felé, ha az “r” értéke pozitív, míg a másik különleges pont globálisan stabil, vagyis a rendszer mindenhonnan e felé tart. Amennyiben viszont “r” értéke negatív, úgy nincs globálisan stabil különleges pont, a népesség a kihalás felé tart, ha eleve kevesebben voltak, mint az”-r/a” érték, és végtelenül megnő a létszámuk, ha kezdetben ennél többen voltak.

Összegezve: A más élőlényeknek ezt az élőlényt (élőlény csoportot) befolyásoló hatásától mentes élőlény (élőlény csoport), sem kihalásra, sem korlátlan szaporodásra nem vezető, tartós létezésének feltétele az

r > 0

és

a <0

feltétel teljesülése.

Ez a megállapítás megegyezik az irodalomban közölttel.

Az időfüggvény

Az (1) egyenletet rendezve és integrálva

LN(x/(r + ax)) = rt

melyből

x =- r / (a- exp(-rt)) (4)

Zérushely, ha a nevező tart a végtelenhez, vagyis az idő tart a végtelenhez és

r < 0.

Szakadási hely, ahol

a = exp(-rT)

azaz

T = -LN(a)/r

és

T > 0

Esetek:

1. A két állandó azonos előjelű

1.1. Mindkettő pozitív

Zérushely nincs.

Szakadási hely.

Mivel csak az

x > 0

a vizsgálandó, ami megvalósul, ha

LN(a) < 0

Ez teljesül, ha

a < 1

Ekkor a végtelenhez tart, ami látható az 1b. ábrán,

de az

a > 1

esetben az

x0 – (r/a)

értékhez (1a. ábra).


Mindkét ábrán a mozgás balról jobbra halad.

Így itt az origó mindig instabil, a másik “a” értékétől függően stabil vagy instabil.

.

Ez az eredmény eltér, mind az irodalomban találttól, mind a módszeremmel kapottól.

1.2. Mindkettő negatív

Itt csak csökkenés van (2.ábra). Az ábrán ezért jobbról balra történik a mozgás.


Itt a második különleges pont instabil. Az állandók csak a távolodás sebességét befolyásolják. A mozgás az origó felé tart.

2. A két állandó különböző előjelű

2.1. Az “r” pozitív

Mindig teljesül és tart a nem kihalásos értékhez (3. ábra).


2.2. Az “r” negatív

Amennyiben

a < 1

akkor tart az origóhoz, vagyis itt is jobbről balra mozog a 4a. ábrán.


Ennél a szakadás feltétele akkor teljesül, ha

a > 1

azonban ekkor véges időben szakadása van (4b. ábra).


A model tehát ebben a vonatkozásban nem felel meg a valóságnak.

Ez az eredmény is eltér, mind az irodalomban találttól, mind a módszeremmel kapottól.

Szakirodalom: EVOLUTION, CONSTRAINT, COOPERATION, AND COMMUNITY STRUCTURE IN SIMPLE MODELS, Lee Worden

A DISSERTATION PRESENTED TO THE FACULTY OF PRINCETON UNIVERSITY, IN CANDIDACY FOR THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY RECOMMENDED FOR ACCEPTANCE BY THE PROGRAM IN

APPLIED AND COMPUTATIONAL MATHEMATICS, November 2003