Dinamikus rendszer stabilitásának mérőszámai

A sorozat eddigi cikkeiben ismert fogalom csoportokhoz adtam hozzá új fogalmakat. Ebben, és az ezutáni cikkekben viszont eddig nemlétező fogalom csoportot vezetek be. Ismertetem ennek a fogalom csoportnak a szintén általam bevezetett tagjait is.

Az 1963-ban készített, és a sorozat első cikkében említett tanulmányom egyik újdonsága volt az, hogy megkíséreltem lehetővé tenni stabil dinamikus rendszerek összehasonlítását stabilitásuk szempontjából. (Ahogy erről már ott írtam a tanulmány – az akkori munkahelyem által azóta elismert hibájából – azonban sajnos nem jelent meg. Így erről a munkámról a szakma nem szerzett tudomást.) Tudomásom szerint ez nem csak akkor volt új, de az is maradt mind a mai napig.

A dinamikus rendszerek vizsgálata gyakorlatilag minőségi jellemzők megadására szorítkozik. Megadják, hogy
– egy rendszer stabil vagy sem,
– esetleg meghatározzák a stabil tartomány határát. Ennél többel nem foglalkoznak.

Így az eddigi módszerek nem adtak választ arra a kérdésre, hogy
– mennyire stabil egy rendszer,
– több rendszer közül melyik a stabilabb?

Egy dinamikus rendszer értékelése, két vagy több dinamikus rendszer mennyiségi jellemzők alapján történő összehasonlítása, ugyanúgy, mint minden más összehasonlítás, csak mérőszámok használatán alapulhat.

Bevezettem ezért néhány mérőszámot a stabilitás nagyságának jellemzésére.

Ezekkel foglalkozik ez a cikk.

1. A különleges alakzatra vonatkozó mérőszámok

1.1. A stabil tartomány nagysága (SIZE OF THE STABLE RANGE)

1.1.1. Abszolút nagyság (SA)

Definíció: A stabil tartomány abszolút nagysága az n-dimenziós fázistérben a stabil tartomány n-dimenziós „térfogata”, azaz az a térrész, amit magába foglal.

Megjegyzés: Több dinamikus rendszer összehasonlításához meg kell adni az összehasonlítandó rendszerek topológiáját (TOPOLOGY). A topológiába itt beleértendő a különleges alakzaté is, és annak az elhelyezkedéséé is a tartományon belül. Közömbös azonban az, hogy az összehasonlítandó rendszerek egy-egy koordináta rendszerben hol helyezkednek el, ezért azok a koordináta rendszeren belül tetszés szerint eltolhatók.

Azonos topológiájú rendszerek összehasonlíthatók. Azok a különböző topológiájú rendszerek is, amelyeknél valamelyik rendszer magába foglalja a másikat, és a befoglalt levezethető a befoglalóból kivágással.

Így összehasonlítható az 1. és 2. ábra két rendszere, de nem a 3. és 4. ábráé. (Az ábrákon az „S” jelű pontok a különleges pontok.)

Tétel: Amennyiben SA1 és SA2 kielégítik az összehasonlíthatóság valamelyik követelményét, és
SA1 > SA2
akkor az S1 a stabilabb.

Mégpedig, de ennek az értelmével nem foglalkoztam, annyiszor, ahányszor nagyobb.

A tétel egy következménye: A nehezen meghatározható rendszerek vizsgálata elvégezhető,
– ha találunk egy olyan rendszert, ami magába foglalja a vizsgáltat, és „térfogata” meghatározható,
– valamint egy olyant, amit a vizsgált foglal magába, és aminek a „térfogata” szintén meghatározható.

Ekkor ez a két rendszer a stabilitás szempontjából a vizsgált alsó és felső korlátját (LIMIT) adja meg. Amennyiben ez a két korlát közel esik egymáshoz, úgy a meghatározás kellően pontos lesz.

Egy ilyen korlát képzést mutat az 5. ábra. Az ábrán a zöld színű körrész a vizsgált, a fekete kör az alsó-, a zöld és piros színű részek együtteséből álló kör a felső korlát. Mindnek az origó a különleges pontja.

1.1.2. Relatív nagyság (SR12)

Definíció: A stabil tartomány relatív nagysága az n-dimenziós fázistérben az 1. rendszer stabil tartománya n-dimenziós „térfogatának”, és a 2. rendszer stabil tartománya n-dimenziós „térfogatának” a hányadosa.
Képlettel:
SR12 = SA1 / SA2

Az 1.1.1. pontban említett megkötések itt is érvényesek.

A használhatósága ugyanolyan, mint az abszolút nagyságé.

1.1.3. Stabilitási mérőszámkénti használhatóságuk

A matematika más ágának a feladata az n-dimenziós testek „térfogatának” a meghatározása, ezért a „térfogat” meghatározás nem a feladatom.

Amely testeknél ez meghatározható, azokra alkalmazhatók ezek a mérőszámok.

2. Stabilitási tartalék vektor

2.1. Bevezetés

A stabilitás vizsgálati módszerek semmit sem mondanak arról, hogy egy, a stabil tartományon belül levő pontból
– könnyű vagy nehéz, és mennyire kijuttatni a stabil tartományból,
– ill. a nem stabil területről milyen nehéz eljuttatni a stabilhoz
a pontot.

Pedig ez egy igen fontos információ lenne.

Nézzük meg ezt egy egyszerű példán!

A 6. ábrán egy gödör látható, amelynek a fenekén van a vizsgált pont. A
– 6a. ábrán a gödör széle közel,
– 6b. ábrán távol van.

A 6a. ábrán a gödör széléig hosszabb az út,mint a 6b. ábrán.

Fontos az is, hogy ez a távolság hogyan aránylik a perem és a különleges pontnak megfelelő legmélyebb pont közti távolsághoz. Ez mutatja meg, hogy a gödör ezen oldalának hányad részén van a pont.

A 7.ábrán a gödör pereme látható.

A 7a. ábra esetében ez alig emelkedik az alja fölé, míg a 7b. ábránál erősen.

A gödörből a peremre feljutni a 7a.ábránál sokkal könnyebb, mint a 7b. esetében.

Itt is fontos még azt is tudni, hogy a gödör legalja és a pereme közti szint különbségnek hányad részén van a pont. Ez mutatja meg, hogy a maximális „helyzeti energia” (POTENTIAL ENERGY) befektetésnek még hányad része szükséges a peremre jutáshoz. (Az idézőjelet azért használom, mert a példánál ugyan valóban helyzeti energiáról van szó, azonban az általános esetben az n-dimenziós fázistér függő változójáról.)

Fontos azonban mindegyik információ.

2.2. Stabilitás tartalék vektor

2.2.1.Definíciók

Abszolút stabilitási tartalék vektor (S) az a vektor, ami a vizsgált pontból a stabilitási tartomány határának azon pontjába mutat, amelyre a vizsgálatot végezzük, és amelynek az abszolút értéke a távolságnak a mérőszáma.

Kísérlet: Külön nem végeztem kísérletet. Az az előjeles távolság ez, ami azon pont, ahonnan legurult a labda, és azon pont közt lenne, ahonnan a peremről ebbe a pontba gurult volna a labda.

Relatív stabilitási tartalék (rs) a stabilitási tartalék vektor abszolút értékének, és a stabilitási tartománynak, a stabilitási tartalék vektornál említett azon pontjához, amelyre a vizsgálatot végezzük, tartozó helyvektor abszolút értékének a hányadosa.

Kísérlet: Itt sincs. Az eltérés az előzőtől annyi, hogy az ott kapott távolságot még elosztjuk a gödör feneke és az ott említett perem pont közti távolsággal.

2.2.2. Számításuk

S = rps – rp
rs = ABS(S)/ABS(rps)
ahol rps – annak a pontnak a helyvektora, amelyről a vizsgált pontba jut a stabilitás határáról,
rp – a vizsgált pont helyvektora.

2.3. Stabilitási függvény vektor

2.3.1. Definíciók

Abszolút stabilitási függvény vektor (Sn): Az abszolút stabilitási tartalék vektornak a függő változó irányába eső komponense az n-dimenziós fázistérben.

Képlettel:
Sn = Sy

Kísérlet: Szintén nincs. Ez abban tér el az abszolút stabilitási vektornál írtaktól, hogy a távolságok helyett valamilyen adott ponttól mért magasságok szerepelnek.

Relatív stabilitási függvény (rsn): A relatív stabilitási tartalék függő változó irányába eső komponensének az abszolút értéke.

Képlettel:
rsn = rsy

Kísérlet: Az eltérés az előzőtől ugyanaz, mint a relatív stabilitási tartalék estén volt.

3. Alkalmazásuk

3.1. Előnyök

Ezeknek a mérőszámoknak a használatával megbízhatóbb fizikai rendszerek tervezhetők. Lehetővé válik ugyanis annak a meghatározása, hogy a tervezett rendszer milyen mértékben lesz érzékeny a zavarásokra, mekkora zavarást bír még el?

3.2. Egy előfeltétel

Mindenek előtt meg kell határozni a stabil tartomány határának (a kísérletekben a peremnek) a helyét, alakját. (A szakirodalom által szeparátornak, azaz elválasztónak nevezettet. Ez valóban elválasztó, mivel elválasztja a különleges alakzat ill. a határciklus stabil tartományát az instabiltól.) Erre nincs általános, minden esetre alkalmazható módszer.

Az általam kidolgozott stabilitási feltételeken alapuló sok esetben alkalmas erre is, ha vizsgáljuk a stabilitási feltétel teljesülését, mint a különleges alakzattól ill. a határciklustól mért távolság és irányok függvényét.

További egyszerűsödést eredményez az a tény, hogy nincs szükség a teljes szeparátornak a megtalálására, hanem elég annak a későbbiekben ismertetettek szerinti pontját megtalálni.

3.3. A tartalék függvények egy tulajdonságáról

A két tartalék függvény út vagy állapotfüggvény?

Látszólag könnyű válaszolni a „helyzeti energia” esetében. Az igazi helyzeti energia ugyanis köztudottan állapotfüggvény, és itt is egyedül az n-dimenziós fázistér függő változója értékétől függ a tartalék. Viszont a kérdés az, hogy melyik pontban felvett értékétől?

Még egyszerűbbnek tűnik a másik esete, mert itt meg eleve útról van szó. Az a kérdés, hogy melyik útról itt ilyen szempontból nem lényeges? Bármelyik is, mindenképen útfüggvény a helyes válasz.

Amennyiben a kísérletekben kiválasztunk egy pontot a gödör oldalában, és ott a gödör fenekének az irányába lökjük meg a labdát, úgy az a legrövidebb úton gurul le a gödör fenekére. Amennyiben az ugyanakkora erővel végrehajtott lökés oldal irányú, úgy oldalt és lefelé haladva jut le. (Esetleg eközben egy vagy több kört is megtéve.) Ez az út biztosan hosszabb lesz, mint a legrövidebb. Ugyanarra a szintre jut azonban ugyanonnan. Így a kezdeti és a végpont „helyzeti energiája” is ugyannyi lesz.

Eddig minden ismert tehát.

Ismeretlen viszont, hogy honnan jutott volna a kiindulási pontba, ha a peremről indítjuk el?

Amennyiben a perem, vagyis a stabilitás határa, mindenhol ugyanolyan magas, akkor mindenhol ugyanannyi ezeken a helyeken a „helyzeti energia”. Így a „helyzeti energia” szempontjából az ilyen rendszernél mindegy, hogy a perem melyik pontjából indulna el a labda. Ez azonban nincs így, ha a perem különböző pontjai különböző „magasságban” vannak! Ennél már a „helyzeti energia” is útvonal függő, azaz útfüggvény.

Az arányok kiszámításához tehát meg kell határozni azt a pontját a peremnek, ahonnan a vizsgált ponton keresztül gurult volna le a gödör fenekére. Ez azt jelenti, hogy meg kell találni azt a trajektóriát TRAJECTORY(a változás pályájának a képe az n-dimenziós fázistérben), amelyik a peremről indul, átmegy a vizsgált ponton, és eljut a gödör fenekére (a különleges alakzathoz ill. a határciklushoz).

Ehhez az időben visszafelé kell addig haladni a trajektórián, amíg vagy eljutunk a stabil tartomány határáig vagy a negatív végtelenig, és előre haladva, amíg elérjük a különleges alakzatot ill. a határciklust.

Ez a differenciálegyenlet rendszer, a vizsgált pont adatai, és a különleges alakzat ill. a határciklus adatainak az ismeretében számítógéppel pontról pontra haladva, és pontonként a trajektória és a stabilitás feltétel teljesülését ill. már nem teljesülését vizsgálva, elvégezhető. (A módszer az 1963. évben kidolgozottól nem tér el, de – a számítástechnika azóta bekövetkezett óriási fejlődésének a következtében – sokkal szélesebb körben vált alkalmazása lehetségessé.)