Periodikus változás, zárt görbék, határciklus és stabilitása

A sorozat második cikke a címben írtakkal foglalkozik.

1. Periodikus (másnéven ciklikus) változás.

A definíció: Az olyan változást, amelynek mindenegyes felvett értéke azonos idő elteltével ismétlődik periodikus változásnak nevezzük. Képlettel:
f(t) = f(t + T),
ahol t – idő, f – valamilyen időfüggvény, T – a periódus idő, azaz két egymást követő ismétlődés közt eltelő idő.

Ezt minden középiskolás tanulta fizikából, ezért nem hivatkoztam külön valamilyen szakirodalomra.

A kísérlet: A labdát egy peremen körbe-körbe görgettük. Így a perem akármelyik pontját kiválasztva egy bizonyos idő elteltével újra ugyanoda jutottunk. (Persze a kísérlet nem volt tökéletes, mert nem tudtuk egyenletes sebességgel görgetni. E miatt az egyes körbe gurítások hol hosszabb, hol rövidebb idő alatt történtek meg.)

A magyarázat: Ez úgy gondolom nem igényel magyarázatot.

2. A fázistér zárt görbéje.

A definíció: Az n-dimenziós fázistér olyan görbéjét, amelynek mindenegyes felvett értéke a görbén haladva ismétlődik zárt görbének nevezzük. Képlettel:
g(y, x1…xn-1, t) = g(y, x1…xn-1, t + T),
ahol t, T – azonos az 1. pontban megadottal, g – a zárójelben levő változók valamilyen függvénye, y – a függő változó, x1…xn-1 – az n – dimenziós fázistér n-1 független változója.

A kísérlet: ugyanaz, mint az 1. pontnál.

Magyarázat: Zárt, mert a görbén bárhonnan elindulva ugyanabba az irányba haladva, egy bizonyos távolság megtétele után ismét ugyanazon a részen leszünk, tehát a görbe bezáródott és ismétlődik.

3. Határciklus

A definicíó: Az n-dimenziós fázistér olyan zárt görbéjét, amelyet tartalmaz egy olyan nem végtelenül vékony térrész, amelyben más zárt görbe nincs határciklusnak nevezzük.

A kísérlet: A domb pereme ilyen, mert – ahogy erről már volt szó az 1. és 2. pontnál zárt görbe, és mindegyik más nem volt az. Ugyanis akármelyik más helyre tettük a labdát az nem jutott vissza a kiindulási helyre. (Ez alól csak a stabil különleges pont volt kivétel, de ott meg nem lehete tt körbe haladni, mert az meg csak egy pont volt.)

Magyarázat: Azért ciklus, mert ciklikus (ahogy az 1. pontnál írtamez a periodikus más megnevezése), és azért határ, mert elválasztja a benne és a körülötte levő nem ciklikus mozgásokat egymástól. Tehát ez egy határ azok közt.

4. Stabil határciklus

A definicíó: Az n-dimenziós fázistér olyan határciklusát, amelyet tartalmaz egy olyan nem végtelenül vékony térrész, amelyben levő pontokból a rendszer változás
– nem távolodik el egy megadott, és a határciklust tartalmazó nem végtelenül vékony térrészen túl Ljapunov-szerint stabil határciklusnak nevezzük
– az abszolút stabilitás esetén a határciklus felé irányul abszolút stabil határciklusnak nevezzük.

A kísérlet: A perem itt a gödör alján kiképzett gyűrű volt, amelyen belül volt egy kis domb. Akár a domb, akára gödör oldalának valamelyik pontjára tettük a labdát, az a gyűrűre gurult, amit görgetve nem hagyott el..

Magyarázat: A gyűrű ugyanúgy, mint korábban a különleges pontnak nevezett gödör fenék magához „vonzotta” a labdát, azaz a labda hozzá gurult.

5.Instabil határciklus

A definicíó: Az n-dimenziós fázistér olyan határciklusát, amelyet tartalmaz egy olyan nem végtelenül vékony térrész, amelyben levő pontokból a rendszer változás
– eltávolodik egy megadott, és a határciklust tartalmazó nem végtelenül vékony térrészen túl, Ljapunov-szerint instabil határciklusnak nevezzük
– az abszolút instabilitás esetén a határciklustól  elfelé irányul, abszolút instabil határciklusnak nevezzük.

A kísérlet: Itt csak egy perem volt,amelytől bármelyik irányba eltávolítottuk a labdát az sohasem gurult vissza a peremre.

Magyarázat: Itt a kísérlet mindent megmagyarázott.

6. Koordináta  értékektől függően stabil határciklus

Ehhez nem tudok megadni irodalmi hivatkozást, mert ezt a fogalmat is én vezettem be az előzőcikkben említett tanulmányomban.

A definíció: Az n-dimenziós fázistér bizonyos koordináta értékeit kivéve egy, a különleges alakzatot körülvevő térrészben stabil határciklus. Ez ugyanúgy lehet Ljapunov-szerinti, vagy abszolút, mint az előzőek.

A kísérlet: A gödör oldalába volt egy gyűrű, amin a labda nem tudott átgurulni. Így, ha a gödör oldalfalának ennél magasabban fekvő pontjáról indult el a labda, ha erre volt az útja, úgy itt megállt, és nem jutott el a gödör fenekére, és görgetve ezen gurult körbe-körbe, de a gödör oldalfalának ennél alacsonyabban levő pontjairól nemide, hanem a gödör fenekére gurult le.

A magyarázat: A gödör fenekére, vagyis a különleges pontba mindenhonnan odagurul a labda (tehát ezekre nézve stabil) a határciklusra instabil, ahonnan nem jut erre a területre. Azokra a pontokra nézve, amikből elindulva, ide jut, stabil, mert itt a labda megáll. (Tehát nem jut el a gödör fenekén levő különleges ponthoz.)

7. Globális stabilitás

A definíció: Amennyiben a stabil tartománya a határciklusnak az n-dimenziós fázistér minden koordinátájára vonatkoztatva végtelen kiterjedésű globálisan stabilnak nevezzük.

A kísérlet: Mivel itt végtelenül nagy dombot és gödröt kellett volna elkészíteni, ezt nem tudtuk megtenni.

A magyarázat: Az könnyen belátható, amit az előzőkben bemutattunk az attól, hogy itt most minden nagyon nagy, semmiben sem változik.

8. Egy megjegyzés

A globális stabilitás itt is összekapcsolható a vizsgált határciklusnak a koordináta  értékektől függően stabil vagy instabil voltával. Így lehet pl. helyileg stabil a határciklus, de globálisan  csak koordináta értékektől függően stabil.

Szakirodalom:
–    Simonyi E.: Fázissík módszerek és alkalmazásaik I – XII. (Mérés és Automatizálás, 1964-1965)

Simonyi Endre