Különleges alakzat és stabilitása

1. Különleges pont.

A definíció: Azon pontokat az n-dimenziós fázistérben, amelyekben a pont mozgását leíró n differenciálegyenlet mindegyike zérus különleges pontoknak nevezzük. Ahol a pont nem mozog ott egyensúlyban van, tehát a különleges pontnak egyensúlyi állapot felel meg.

A kísérlet: Itt még külön kísérlet nincs, de a stabil és instabil különleges pontnál látható dombtető csúcsa és a gödör fenék legalsó pontja ilyen.

A magyarázat: Amennyiben nem mozdítjuk meg a labdát, az ezen a helyen marad. Máshol viszont magától elgurul, tehát ezek a pontok mások, mint a többiek. Különlegesek.

2. Különleges alakzat.

Ehhez nem tudunk megadni irodalmi hivatkozást, mert ezt a fogalmat egyikünk (Simonyi Endre) vezette be az 1963-ban elkészült, de az Intézete által meg nem jelentetett cikkében. (Az Intézet 2010-ben hivatalosan elismerte, hogy hibájából maradt el az elkészült tanulmány publikálása.) E miatt ezt most itt abból átvéve adjuk.

A definíció: Különleges alakzat (a különleges pont általánosítása) azon pontok mértani helye az n-dimenziós fázistérben, amelyek zárt alakzatot alkotnak, és amelyekben a fázistérben a mozgást leíró n-differenciál egyenletből álló egyenletrendszer mindegyik egyenletének az értéke zérus. (Ennek a zérus dimenziós esete a különleges pont).

A kísérlet: Itt sincs külön kísérlet. Ugyanaz vonatkozik erre, mint az előzőre.

A magyarázat: A dombtető sem, és a gödör fenék legalja sem egy-egy pont, hanem mindkettő egy-egy szélességgel és hosszúsággal rendelkező terület. (Itt most azzal nem törődünk, hogy ezeken magukon is vannak kis dombocskák és gödröcskék. Ezeket ugyanis elhanyagolhatjuk, mert azt, hogy itt áll a labda, nem befolyásolják.) Ezek tehát egy három dimenziós fázistérben különleges alakzatok. Mégpedig közelítőleg síkok.

3. Stabil különleges pont

A definíció: Az egyensúlyi állapot Ljapunov szerint stabil, ha bármely az egyensúlyi állapottól mért megengedett elmozdulás területén „e” belűl találunk egy „d(e)” területet, amely körülveszi az egyensúlyi állapotot és egyetlen „d” belsejéből induló mozgás sem éri el „e” területének a határát. (Ez másként mondva azt jelenti, hogy az adott „a” terület a mozgás korlátja.)
Az egyensúlyi állapot aszimptotikusan stabil, ha egyensúlyi állapotából kitérítve a pont mozgása nemcsak nem haladhat túl egy korláton, hanem még tart is az egyensúlyi állapotnak megfelelő ponthoz.   .

Szintén a meg nem jelent cikkben szerepelt az is, hogy a különleges alakzat stabil vagy instabil voltára mindaz igaz, ami a különleges pont stabilitására vonatkozik.

A kísérlet: A gödör fenekére tettük a labdát. Nem mozdult. Ezután a gödör oldalán elengedtük. Legurult a gödör fenekére.

A magyarázat: A gödör oldaláról akárhonnan engedtük el a labdát, az mindig a fenekére gurult. Így ez a különleges pont stabil. Más elnevezéssel, vonzó.

4. Instabil különleges pont

A definíció: Az olyan különleges pontokat, amelyekre nem teljesül a stabilitási feltétel instabilnak nevezzük.

A kísérlet: A domb tetejére tettük a labdát. Nem mozdult. Bármelyik másik helyére tettük a dombnak legurult a dombról.

A magyarázat: A dombon nem volt seholsem olyan hely, ahonnan elengedve felgurult volna a domb tetejére. Így tehát ez egy instabil különleges pont. Más elnevezéssel taszító. (Ugye mennyire könnyen érthető eddig minden! Hiszen az, hogy egy lejtőn lefelé és nem felfelé gurul egy elengedett valami, mindenki tudja. Az pedig, hogy ennek ez a neve, könnyen megtanulható.)

5. Koordináta értékektől függően stabil

Ehhez sem tudunk megadni irodalmi hivatkozást, ugyanzon oknál fogva. E miatt ezt is most abból átvéve pótoljuk.

A definíció: Az n-dimenziós fázistér bizonyos koordináta értékeit kivéve egy, a különleges alakzatot körülvevő térrészben stabil.

A kísérlet: A gödör oldalának egy része úgy volt kialakítva, hogy azon ne tudjon átgurulni a labda. Így, ha a gödör oldalfalának ennél magasabban fekvő pontjáról indult el a labda, ha erre volt az útja, úgy itt megállt, és nem jutott el a gödör fenekére.

A magyarázat: A gödör fenekére, vagyis a különleges pontba mindenhonnan odagurul a labda (tehát ezekre nézve stabil), ahonnan nem jut erre a területre. Azokra a pontokra nézve, amikből elindulva, ide jut, instabil, mert itt a labda megáll, tehát nem jut el a különleges ponthoz.

6. Globális stabilitás

A definíció: Amennyiben a stabil tartománya a különleges pontnak az n-dimenziós fázistér minden koordinátájára vonatkoztatva végtelen kiterjedésű globálisan stabilnak nevezzük.

A kísérlet: Mivel itt végtelenül nagy dombot és gödröt kellett volna elkészíteni, ezt nem tudtuk megtenni.

A magyarázat: Az könnyen belátható, amit az előzőkben bemutattunk az attól, hogy itt most minden nagyon nagy, semmiben sem változik.

7. Egy megjegyzés

A globális stabilitás összekapcsolható a vizsgált különleges alakzatnak (és természetesen a különleges pontnak is) a koordináta  értékektől függően stabil vagy instabil voltával. Így lehet pl. globálisan a koordináta értékektől függően stabil a különleges pont, de globálisan  csak koordináta értékektől függően stabil. (Ez igaz az 5. pontban bemutatott kísérletre. Ugyanis, ha az akadálynál alacsonyabbról indult el a labda, akkor bármelyik irányból legurult a gödör fenekére, tehát itt stabil, ennél magasabbról viszont az van, amit az 5. pontnál írtunk. Tehát, ha végtelenül magas lenne az oldalfal, akkor ezekből az irányokból ugyanúgy nem jutna el a gödör fenekére, mint az 5. pontbani kísérletnél.)

Szakirodalom:
–    Simonyi E.: Fázissík módszerek és alkalmazásaik I – XII. (Mérés és Automatizálás, 1964-1965)

Simonyi Endre